射影定理公式推导过程 射影定理

1、直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.公式 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下：（1）（AD）^2=BD·DC,（2）（AB）^2=BD·BC ,（3）（AC）^2=CD·BC .证明：在 △BAD与△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD＝CD/AD,即（AD）^2=BD·DC.其余类似可证.注：由上述射影定理还可以证明勾股定理.由公式（2）+（3）得：（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2,即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2.。

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